Verteilungen: normal, binomial, Poisson

Gemessen oder gezähltWelche Art von Zahl liegt vor?

Bevor man eine Verteilung wählt, schaut man auf die Zahl selbst. Ein Durchmesser wird gemessen. Er kann jeden Wert annehmen, 2,0118 ebenso wie 2,0119, und seine Verteilung ist eine glatte Kurve. Die Zahl schlechter Teile in einer Stichprobe oder die Zahl der Blasen auf einem Schlauchstück wird gezählt. Hier gibt es nur ganze Zahlen, und die Verteilung besteht aus einzelnen Balken.

Bei gezählten Daten folgt eine zweite Frage: Gibt es eine Obergrenze? Unter 50 geprüften Schläuchen können höchstens 50 schlecht sein; das ist der Fall der Binomialverteilung. Blasen auf hundert Metern haben keine feste Obergrenze, jede weitere ist möglich, nur immer unwahrscheinlicher; das ist der Fall der Poisson-Verteilung. Gemessene Werte führen meist zur Normalverteilung, aber nicht immer.

MerksatzErst fragen, ob gemessen oder gezählt wird; danach richtet sich die Verteilung.

Die NormalverteilungWann darf man mit der Glockenkurve rechnen?

Die Normalverteilung entsteht, wenn sich viele kleine, voneinander unabhängige Einflüsse addieren und keiner davon überwiegt. Das Galtonbrett zeigt es im Kleinen: Jeder Nagel ist ein Einfluss, das Fach ist ihre Summe. Am Extruder sind es Schwankungen von Granulat, Temperatur, Abzugsgeschwindigkeit und Kühlung. Dass sich solche Summen fast immer der Glockenkurve annähern, gleich wie die einzelnen Einflüsse aussehen, beschreibt der zentrale Grenzwertsatz, einer der wichtigsten Sätze der Statistik.

Zwei Zahlen legen die Glocke vollständig fest: die Mitte μ und die Standardabweichung σ, der typische Abstand eines Werts von der Mitte. Daraus folgen feste Anteile, die für jede Normalverteilung gelten. Innerhalb einer Standardabweichung um die Mitte liegen 68,3 Prozent aller Werte, innerhalb von zwei 95,4 Prozent, innerhalb von drei 99,73 Prozent.

Die Glocke sagt etwas anderes. Linie 1 läuft im Mittel bei 2,012 Millimetern, der Schlauch streut mit einer Standardabweichung von 0,012 Millimetern. Bis zur oberen Grenze sind es also 0,038 Millimeter, gut drei Standardabweichungen. Jenseits davon liegen nach der Normalverteilung 0,077 Prozent der Schläuche, rund 770 von einer Million. In ein paar hundert Messungen taucht davon meist keiner auf. In der Jahresmenge sehr wohl.

So lesen Sie das Bild: Die Kurve zeigt, wie häufig welcher Durchmesser vorkommt; die Fläche darunter umfasst alle Schläuche. Die blauen Bänder markieren eine, zwei und drei Standardabweichungen um die Mitte, die Klammern darunter ihre Anteile. Braunrot gestrichelt sind die Toleranzgrenzen. Die kleine braunrote Fläche rechts der oberen Grenze ist der Anteil, der zu dick ausfällt: 0,077 Prozent. Unter der unteren Grenze liegen rechnerisch nur etwa 0,1 Schläuche je Million, denn Linie 1 läuft absichtlich dicker, und der Abstand nach unten beträgt mehr als fünf Standardabweichungen.

Diese Rechnung ist der Kern jeder Fähigkeitsbewertung: Aus Mitte und Streuung folgt der Anteil außerhalb der Toleranz, auch dort, wo man nie einen Messwert gesehen hat. Sie ist aber nur so gut wie ihre Voraussetzungen. Der Prozess muss stabil laufen, und die Werte müssen tatsächlich normalverteilt sein, gerade an den Rändern, um die es beim Ausschuss geht.

So lesen Sie das Bild: Links stammen die Werte aus zwei Quellen mit verschiedener Mitte; die Glocke setzt ihren Gipfel genau dorthin, wo kaum Werte liegen. In der Mitte ist ein Merkmal nach unten durch null begrenzt; die Glocke erwartet dort Werte, die es nicht geben kann, und unterschätzt den langen Ausläufer nach rechts. Rechts wurden Teile außerhalb der Toleranz vorher aussortiert. Die verbliebenen Daten streuen schmaler als der Prozess selbst, und eine Fähigkeitsrechnung darauf zeigt eine Güte, die er nicht hat.

In allen drei Fällen liefert die Glocke falsche Anteile, und zwar gerade an den Rändern. Wer zwei Quellen erkennt, trennt die Daten und bewertet jede für sich. Wer ein begrenztes Merkmal hat, rechnet mit einer passenden schiefen Verteilung. Und wer sortierte Ware misst, misst die Sortierung, nicht den Prozess. Ob Daten zur Normalverteilung passen, prüft ein Verteilungstest; welcher Test für welche Frage passt, zeigt der Wegweiser im Kapitel Auswerten der Übersicht.

Im WerkzeugkastenProzessfähigkeit – wie aus Mitte und Streuung Cp, Cpk und der Anteil außerhalb der Toleranz werden, mit eigenen Werten oder einem Beispiel.

MerksatzDie Glockenkurve entsteht aus vielen kleinen, unabhängigen Einflüssen.

Die BinomialverteilungWie viele schlechte Teile stecken in einer Stichprobe?

Sobald ein Teil nur gut oder schlecht sein kann, wird nicht mehr gemessen, sondern gezählt. Die Binomialverteilung beantwortet dann eine einfache Frage: Prüft man n Teile aus einem Prozess mit dem Fehleranteil p, wie wahrscheinlich sind genau 0, 1, 2 oder mehr schlechte darunter?

Sie gilt unter vier Bedingungen. Die Zahl der geprüften Teile steht vorher fest. Jedes Teil ist entweder gut oder schlecht. Der Fehleranteil ist für alle Teile gleich. Und die Teile beeinflussen einander nicht, sie werden also zufällig gezogen; fünfzig Schläuche vom Anfang einer Rolle sagen wenig über deren Mitte. Im Mittel findet man dann n · p schlechte Teile. Bei 50 Schläuchen und 2 Prozent Fehleranteil ist das genau einer. Aber das ist nur der Durchschnitt: In 37 Prozent der Stichproben ist es tatsächlich einer, in 36 Prozent keiner und in 26 Prozent zwei oder mehr.

Wie wenig eine kleine fehlerfreie Stichprobe belegt, zeigt die Übersicht am Satz „fünf geprüft, alle gut“. Hier geht es um den nächsten Schritt, den Prüfplan.

Die Antwort ist keine einzelne Zahl, sondern eine Kurve. Für jeden denkbaren Fehleranteil im Los rechnet die Binomialverteilung aus, wie wahrscheinlich die Stichprobe höchstens einen Fehler zeigt und das Los damit angenommen wird. Diese Kurve heißt Annahmekennlinie.

So lesen Sie das Bild: Links stehen die Wahrscheinlichkeiten für 0, 1, 2 und mehr Fehler unter 50 geprüften Schläuchen; blau sind die Fälle, in denen das Los angenommen wird. Während der Fehleranteil im Los wächst, wandern die Balken nach rechts. Rechts entsteht daraus die Annahmekennlinie. Bei 1 Prozent Fehleranteil wird das Los in 91 Prozent der Fälle angenommen, bei 2 Prozent in 74, bei 5 Prozent noch in 28 und bei 10 Prozent in 3 Prozent der Fälle.

Der Plan ist also kein Sieb mit fester Maschenweite. Ein Los mit 5 Prozent Ausschuss, für einen Katheterschlauch viel zu viel, kommt in mehr als einem Viertel der Fälle durch. Will man das verhindern, braucht es eine größere Stichprobe oder eine strengere Annahmezahl. Beides lässt sich ausrechnen, bevor das erste Teil geprüft wird; wie, zeigt ein eigener Beitrag zum Stichprobenumfang.

In der ÜbersichtKapitel 2 · Verteilungen – warum fünf fehlerfreie Teile kaum etwas belegen und wie viele es für einen Beleg braucht.

MerksatzWird gut oder schlecht gezählt, gilt die Binomialverteilung.

Die Poisson-VerteilungWie oft passiert etwas Seltenes auf einer Strecke oder in einer Zeit?

Manche Fehler zählt man nicht an Teilen, sondern auf einer Strecke, einer Fläche oder in einer Zeit: Blasen je hundert Meter Schlauch, Einschlüsse je Quadratmeter Folie, Störungen je Schicht. Es gibt keine feste Zahl von Versuchen und keine Obergrenze. Für solche Zählungen gilt die Poisson-Verteilung, benannt nach dem französischen Mathematiker Siméon Denis Poisson.

Sie braucht nur eine einzige Zahl: die mittlere Anzahl λ (Lambda) je Strecke oder Zeit. Ihre Bedingungen: Die Ereignisse treten unabhängig voneinander auf, die Rate bleibt gleich, und zwei Ereignisse fallen nicht auf denselben Punkt. Ein Kennzeichen macht sie leicht prüfbar. Mittelwert und Varianz, das Quadrat der Standardabweichung, sind gleich groß.

Linie 1 hat im Mittel zwei Blasen je hundert Meter. Sind fünf ein Signal? Die Poisson-Verteilung sagt: Fünf oder mehr kommen auch ohne jede Ursache in 5,3 Prozent der Abschnitte vor, also etwa in jedem neunzehnten. Sieben oder mehr wären mit 0,45 Prozent schon seltener als jeder zweihundertste Abschnitt.

So lesen Sie das Bild: Links ist jede Linie ein Schlauchabschnitt von 100 Metern, jeder blaue Punkt eine Blase, die Zahl daneben ihre Anzahl. Die Blasen sind rein zufällig gesetzt, ohne jede Ursache. Trotzdem liegen sie mal dicht, mal gar nicht: Sieben Abschnitte haben keine einzige Blase, zwei haben fünf. Rechts zeigen die Balken, wie oft welche Anzahl vorkommt, die gestrichelten Rahmen, was die Poisson-Verteilung erwartet. Mittelwert 2,16 und Varianz 2,14 liegen dicht beieinander, wie es für die Poisson-Verteilung typisch ist.

Fünf Blasen sind also noch kein Beleg für feuchtes Granulat; ein Abschnitt mit sieben wäre ein deutlicheres Zeichen. Verlässlicher ist der Blick über die Zeit. Eine Regelkarte für Zählwerte, deren Grenzen aus der Poisson-Verteilung stammen, zeigt, ob die Rate selbst gestiegen ist, statt auf jeden einzelnen Abschnitt zu reagieren.

MerksatzSeltenes auf einer Strecke oder in einer Zeit beschreibt die Poisson-Verteilung.

Wie die drei zusammenhängenUnd woran erkennt man, welche passt?

Die drei Verteilungen sind enger verwandt, als es scheint. Das Galtonbrett am Anfang ist eigentlich eine Binomialverteilung: zwölf Versuche, jeder mit der Wahrscheinlichkeit einhalb nach rechts. Mit wachsender Zahl der Versuche nähert sie sich der Glocke. Als Faustregel gilt die Näherung durch die Normalverteilung als brauchbar, wenn n · p und n · (1 − p) beide mindestens 5 sind. Bei seltenen Fehlern und kleinen Stichproben ist die Binomialverteilung dafür zu schief.

In die andere Richtung nähert sich die Binomialverteilung der Poisson-Verteilung, wenn sehr viele Teile mit sehr kleinem Fehleranteil geprüft werden. Ein Schlauch von hundert Metern lässt sich als tausend Stücke zu zehn Zentimetern denken, jedes mit einer winzigen Wahrscheinlichkeit für eine Blase. Deshalb taugt die Poisson-Verteilung auch als Näherung für seltene Fehler in großen Stichproben; als Faustregel ab etwa 50 Teilen und höchstens 5 Prozent Fehleranteil.

Am Ende bleibt jede Verteilung ein Modell. Sie erlaubt Aussagen über Bereiche, die man nie beobachtet hat, etwa über Ausschuss im Bereich weniger Teile je Million. Je weiter man sich vom beobachteten Bereich entfernt, desto mehr hängt das Ergebnis an der Annahme statt an den Daten. Wer mit einer Verteilung rechnet, sagt deshalb dazu, welche er angenommen hat und warum.

MerksatzDie drei Verteilungen sind verwandt; welche passt, zeigt die Art der Zahl.